Ирина Лагунина: Сегодня в научной рубрике нашей программы - продолжение беседы лауреатом высшей математической награды мира Филдсовской премии Андреем Окуньковым. "В последние годы бурно меняется не только сама математика, но даже образ жизни ученых. И все же я хочу как можно дольше понимать, о чем будут говорить мои ученики, " - говорит 40-летний профессор Принстонского университета. С ним беседует Ольга Орлова.
Ольга Орлова: Андрей, расскажите, пожалуйста, та математика, которую вам открыли ваши учителя, и та математика, в которой живете теперь вы и которую вы открываете уже своим ученикам - в чем разница?
Андрей Окуньков: Есть вещи, которые не изменились. А есть вещи, которые очень сильно изменились. И вещи, которые почти не изменились – это базовые, основные вещи в развитии математики. Потому что математика - это вертикальная, логическая структура. И для того, чтобы кто-то возвел блистательный шпиль, нужно много отесанных или неотесанных гранитных глыб положить в основание этого здания. И только потом оно увеначается каким-то блистательным доказательством. То есть все центральные проблемы математики меняются не на протяжении одного поколения, а на гораздо больших временных горизонтах. Если вы посмотрите эти "миллионные" задачи, то все эти задачи и гипотезы были доказаны на отрезке порядка ста лет. Поэтому, конечно, мы сейчас знаем гораздо больше, математика развивается быстрее и быстрее, но основные направления те же самые. А вот что очень изменилось, так это то, как мы работаем.
Ольга Орлова: Стиль работы?
Андрей Окуньков: Не стиль, а что мы делаем в течение дня.
Ольга Орлова: Вы хотите сказать, что изменился образ жизни математика?
Андрей Окуньков: Да, и это тоже. Но главное то, как мы идем к своей цели. Я думаю, что я уже объяснил вашим слушателям, что много времени математики просто думают – это процесс, который трудно объяснить. И это думанье, мышление периодически приводит к озарению, когда, не знаю откуда - я не психолог - появляется в голове та самая…
Ольга Орлова: Проясняется картина?
Андрей Окуньков: Да, та самая идея – вот этот момент счастья. Это бывает прекрасно, но это бывает в жизни каждого математика может быть дюжину раз. Не то, чтобы это такое ежедневное событие. Мы как первопроходцы в джунглях, в темноте, с каким-то маленьким ножиком, с подручными средствами пробираемся сквозь мглу неизвестно куда. На основании имеющегося опыта, какой-то интуиции и так далее...
Ольга Орлова: Федор Богомолов как-то привел аналогию с шахтером. Математик похож на шахтера, который в глубине, в темноте очень глубоко добывает руду.
Андрей Окуньков: Ну нет, мне кажется, что мы не в глубине трудимся! Дай бог ему, конечно, найти и золото, и алмазы, я уверен, что он их найдет. Но я бы все-таки на свежем воздухе описал свою деятельность. Наши технические средства, они претерпели колоссальные изменения за последние годы. Во-первых, когда Александр Александрович (Кириллов)говорил про "хорошо сосчитанные примеры", он имел в виду вычисления карандашом на бумажке. Я, например, помню, как меня совершенно поражало с какой аккуратностью он их записывал. И у Гриши Ольшанского можно было увидеть потрясающе аккуратные записи вычислений. А теперь у нас есть такие умные программы, которые делают сложнейшие вычисления. Я считаю, что хорошие вычисления - это действительно основа. Это как в физике - эксперимент. Это то, на основании чего мы строим все наши догадки. Но теперь наши технические средства просто потрясающие. Это благодаря общему развитию вычислительной математики.
Ольга Орлова: То есть сейчас современному математику не нужно тратить время на вычисления?
Андрей Окуньков: Нужно, но мы можем за то же самое время сделать их невообразимо больше. Я иногда несколько месяцев потрачу на написание какой-то программы, которая считает, вычисляет какие-то примеры. Я два месяца эту программу пишу, предположим, она неделю работает, но за эту неделю посчитает столько, сколько старыми методами за всю жизнь не посчитаешь.
Ольга Орлова: На что раньше нужно было тратить несколько лет?
Андрей Окуньков: Вот именно, и это несравнимые вещи. То же самое не только мы идем, прорубаемся то ли в шахту, то ли в тростнике, мы еще очень часто имеем довольно смутное представление о том, что делают наши коллеги. Исторически очень много туннелей в математике были прорыты параллельно. Вещи переоткрывались, переоткрывались и переоткрывались.
Ольга Орлова: Люди просто не знали, что рядом это уже кто-то делает ? А как это возможно при той информационной открытости в математике? Ведь обычно результаты публикуются моментально?
Андрей Окуньков: Верно. Но вы же не знаете, что ответ на ваш вопрос может содержаться в других обозначениях, с другими названиями.
Ольга Орлова: Вы просто его не прочли?
Андрей Окуньков: Ну конечно! Математика такого размера, что прочесть всю математику невозможно - это безумие. Математика - это тысяча журналов. И хотя сейчас более-менее все публикуются по-английски, но раньше еще и на разных языках все печаталось. То есть знать всю математику невозможно. А что мы имеем теперь? Теперь мы имеем все современные средства поиска информации, которые невообразимо помогают. Например, кроме стандартных вещей, все статьи, написанные в математике за последние сто лет, можно искать на какие угодно ключевые слова, но это не только в математике, но математики очень четко поддерживают эту вещь. Если вы знаете, то, чем занимаетесь, другой человек может называть другим словом. Вы же не договаривались с ним, если это та же самая вещь, та же самая формула, но названа другими словами, контекстный поиск вам не поможет, хотя это потрясающе сильная вещь.
Ольга Орлова: Вы же можете не договориться об обозначениях.
Андрей Окуньков: Да, например. Но есть гораздо более хитрые вещи. Очень часто в математике есть счетное множество вопросов, есть вопрос номер один, номер два, номер три и так далее. На каждый из них есть ответ. Это число. Предположим, в алгебраической геометрии есть такие перечислительные задачи, например, что такое множество нулей многочлена от двух переменных в какой-то степени? Плоская алгебраическая кривая вот в такой-то степени. Например, в степени один - прямая. В степени два - коническое сечение, эллипс, гипербола и так далее, в степени три- плоские кубики и так далее. Допустим, мы изучаем свойства таких кривых, сколько из них проходит через точки, неважно. Важно, что ответ есть число, одно для степени один, одно для степени два, одно для степени три. Есть последовательность чисел. Предположим, каким-то образом меня интересует общий ответ, а каким-то образом я вычислил первые несколько, у меня получилась последовательность чисел, например, 1, 3, 18. После этого есть целая энциклопедия всех мыслимых последовательностей, в которую можно ввести последовательность своих чисел, и она покажет все мыслимые математические работы, все мыслимые контексты, в которых так же последовательность встречается. И таким образом очень часто, я этим пользовался многократно, оказывается, что ответом является какая-то известная последовательность, какой-то другой математик ее отождествил и получается, что тем самым сэкономил собственное время. Может быть я не открыл то, что другие люди открыли, но я теперь знаю, как называется и могу пользоваться всем тем, что наработано.
Ольга Орлова: А с другой стороны, ведь то, что математики иногда идут параллельными путями и работают параллельно, не всегда договариваются до обозначений, приводит к возникновению другой проблемы - проблемы проверки результатоы. Узкая специализация порой приводит к тому, что результат объявлялся доказанным, а потом выяснялось, что не все там доказано. А иногда выяснялось, что вообще главные вещи не доказаны. И потом приходилось это "вручную подчищать".
Андрей Окуньков: Да, вот почему и нужно так объяснять глубокие вещи, чтобы та самая доска, о которой мы говорили в начале из равновесия не выходила. С формальной логикой и формальной проверкой доказательств у меня глубокого знакомства нет, но чисто по-человечески, когда я вижу глубоко усвоенную идею, для меня это гораздо убедительнее, чем даже какая-то компьютерная программа проверила бы и сказала, что все правильно. Цель математики не узнать ответ "да" или "нет" на все мыслимые вопросы, а цель математики, как и науки в целом, чтобы понять наш мир. Предположим, прилетели бы какие-то инопланетяне и сказали: "Да, гипотеза Римана верна и вот доказательство. Вы можете проверить на своей машине." Ну и чему мы, собственно говоря, научились от этого? Ничему не научились.
Ольга Орлова: Вы хотите сказать, что важно не просто формально получить доказательство (в данном случае гипотезы Римана, как последней из магистральных задач ХХ века, сформулированных Гилбертом) а важно то, чтобы это доказательство было естественно принято сообществом и осмыслено?
Андрей Окуньков: Да. Я считаю, что доказательство - это не цель математики. Доказательство – это мера нашего понимания. Есть, предположим, какой-то феномен, который Риман осознал. И это величайшее открытие. Но ведь мы его до сих пор очень плохо понимаем. Я, например, совсем не понимаю. Но даже мои замечательные коллеги, я думаю, не так хорошо понимают. Ну и какой бы мерой понимания было бы доказательство?
Ольга Орлова: Доказательство важно как свидетельство понимания проблемы?
Андрей Окуньков: Именно так. Моя любовь – это математическая физика. Очень часто задают вопрос: зачем математические физики доказывают те вещи, которые физически очевидны? Вот существует природа, и ничего катастрофического в ней не происходит, значит математика работает. Зачем математику нужны формальные доказательства того, что фазовый переход существует? Ведь вот была вода, она вскипела, все видят. Зачем это доказывать? А формальные доказательства, когда оно есть, если его нет, это не конец света, когда есть, просто для меня это мера нашего понимания. Это свидетельство того, что мы осознали, что происходит, когда мы можем даже не только математически выразить, не только математически описать, но и доказать. Поэтому, поворачивая то же самое с другой стороны, если есть выражение на непонятном нам языке, которое является формальным доказательством, может быть мне сильно прильет кровь к голове, я сильно перекошу ту самую доску.
Ольга Орлова: А теперь скажите такую вещь: какую же математику вы больше любите? Знаете, есть люди, которые любят свою время, есть люди, которые жалеют о том, что они не родились в какие-то другие исторические времена и им хотелось бы жить не здесь и не сейчас. Так, наверное, и в науке. Вы какую математику больше любите, ту в которую вы вошли или ту, которую вы сейчас несете своим ученикам?
Андрей Окуньков: Мне бы хоть одним глазком в будущее заглянуть... Я, конечно, понимаю ограничение своих умственных способностей, я понимаю уже сейчас, что молодежь сильнее, и быстрее, и глубже. Сейчас мне приятно, потому что среди них есть умные ребята и девушки. Мне бы подольше понимать, о чем они будут говорить. Утверждение, что математика только для молодых, совершенно неверно. Потому что сила, с которой щелкают молодые и тренированные умы олимпиадные задачи, с годами компенсируется опытом, вкусом, какими-то другими вещами, как и вообще в человеческой жизни. Нет никакого сомнения, что ученики с годами меня перерастут. Так всегда бывает. Я только мечтаю о том, чтобы мне подольше понимать, о чем они будут говорить, иначе это превратится как в инопланетное доказательство гипотезы Римана.
Ольга Орлова: Из уст сорокалетнего человека это звучит парадоксально.
Ольга Орлова: Андрей, расскажите, пожалуйста, та математика, которую вам открыли ваши учителя, и та математика, в которой живете теперь вы и которую вы открываете уже своим ученикам - в чем разница?
Андрей Окуньков: Есть вещи, которые не изменились. А есть вещи, которые очень сильно изменились. И вещи, которые почти не изменились – это базовые, основные вещи в развитии математики. Потому что математика - это вертикальная, логическая структура. И для того, чтобы кто-то возвел блистательный шпиль, нужно много отесанных или неотесанных гранитных глыб положить в основание этого здания. И только потом оно увеначается каким-то блистательным доказательством. То есть все центральные проблемы математики меняются не на протяжении одного поколения, а на гораздо больших временных горизонтах. Если вы посмотрите эти "миллионные" задачи, то все эти задачи и гипотезы были доказаны на отрезке порядка ста лет. Поэтому, конечно, мы сейчас знаем гораздо больше, математика развивается быстрее и быстрее, но основные направления те же самые. А вот что очень изменилось, так это то, как мы работаем.
Ольга Орлова: Стиль работы?
Андрей Окуньков: Не стиль, а что мы делаем в течение дня.
Ольга Орлова: Вы хотите сказать, что изменился образ жизни математика?
Андрей Окуньков: Да, и это тоже. Но главное то, как мы идем к своей цели. Я думаю, что я уже объяснил вашим слушателям, что много времени математики просто думают – это процесс, который трудно объяснить. И это думанье, мышление периодически приводит к озарению, когда, не знаю откуда - я не психолог - появляется в голове та самая…
Ольга Орлова: Проясняется картина?
Андрей Окуньков: Да, та самая идея – вот этот момент счастья. Это бывает прекрасно, но это бывает в жизни каждого математика может быть дюжину раз. Не то, чтобы это такое ежедневное событие. Мы как первопроходцы в джунглях, в темноте, с каким-то маленьким ножиком, с подручными средствами пробираемся сквозь мглу неизвестно куда. На основании имеющегося опыта, какой-то интуиции и так далее...
Ольга Орлова: Федор Богомолов как-то привел аналогию с шахтером. Математик похож на шахтера, который в глубине, в темноте очень глубоко добывает руду.
Андрей Окуньков: Ну нет, мне кажется, что мы не в глубине трудимся! Дай бог ему, конечно, найти и золото, и алмазы, я уверен, что он их найдет. Но я бы все-таки на свежем воздухе описал свою деятельность. Наши технические средства, они претерпели колоссальные изменения за последние годы. Во-первых, когда Александр Александрович (Кириллов)говорил про "хорошо сосчитанные примеры", он имел в виду вычисления карандашом на бумажке. Я, например, помню, как меня совершенно поражало с какой аккуратностью он их записывал. И у Гриши Ольшанского можно было увидеть потрясающе аккуратные записи вычислений. А теперь у нас есть такие умные программы, которые делают сложнейшие вычисления. Я считаю, что хорошие вычисления - это действительно основа. Это как в физике - эксперимент. Это то, на основании чего мы строим все наши догадки. Но теперь наши технические средства просто потрясающие. Это благодаря общему развитию вычислительной математики.
Ольга Орлова: То есть сейчас современному математику не нужно тратить время на вычисления?
Андрей Окуньков: Нужно, но мы можем за то же самое время сделать их невообразимо больше. Я иногда несколько месяцев потрачу на написание какой-то программы, которая считает, вычисляет какие-то примеры. Я два месяца эту программу пишу, предположим, она неделю работает, но за эту неделю посчитает столько, сколько старыми методами за всю жизнь не посчитаешь.
Ольга Орлова: На что раньше нужно было тратить несколько лет?
Андрей Окуньков: Вот именно, и это несравнимые вещи. То же самое не только мы идем, прорубаемся то ли в шахту, то ли в тростнике, мы еще очень часто имеем довольно смутное представление о том, что делают наши коллеги. Исторически очень много туннелей в математике были прорыты параллельно. Вещи переоткрывались, переоткрывались и переоткрывались.
Ольга Орлова: Люди просто не знали, что рядом это уже кто-то делает ? А как это возможно при той информационной открытости в математике? Ведь обычно результаты публикуются моментально?
Андрей Окуньков: Верно. Но вы же не знаете, что ответ на ваш вопрос может содержаться в других обозначениях, с другими названиями.
Ольга Орлова: Вы просто его не прочли?
Андрей Окуньков: Ну конечно! Математика такого размера, что прочесть всю математику невозможно - это безумие. Математика - это тысяча журналов. И хотя сейчас более-менее все публикуются по-английски, но раньше еще и на разных языках все печаталось. То есть знать всю математику невозможно. А что мы имеем теперь? Теперь мы имеем все современные средства поиска информации, которые невообразимо помогают. Например, кроме стандартных вещей, все статьи, написанные в математике за последние сто лет, можно искать на какие угодно ключевые слова, но это не только в математике, но математики очень четко поддерживают эту вещь. Если вы знаете, то, чем занимаетесь, другой человек может называть другим словом. Вы же не договаривались с ним, если это та же самая вещь, та же самая формула, но названа другими словами, контекстный поиск вам не поможет, хотя это потрясающе сильная вещь.
Ольга Орлова: Вы же можете не договориться об обозначениях.
Андрей Окуньков: Да, например. Но есть гораздо более хитрые вещи. Очень часто в математике есть счетное множество вопросов, есть вопрос номер один, номер два, номер три и так далее. На каждый из них есть ответ. Это число. Предположим, в алгебраической геометрии есть такие перечислительные задачи, например, что такое множество нулей многочлена от двух переменных в какой-то степени? Плоская алгебраическая кривая вот в такой-то степени. Например, в степени один - прямая. В степени два - коническое сечение, эллипс, гипербола и так далее, в степени три- плоские кубики и так далее. Допустим, мы изучаем свойства таких кривых, сколько из них проходит через точки, неважно. Важно, что ответ есть число, одно для степени один, одно для степени два, одно для степени три. Есть последовательность чисел. Предположим, каким-то образом меня интересует общий ответ, а каким-то образом я вычислил первые несколько, у меня получилась последовательность чисел, например, 1, 3, 18. После этого есть целая энциклопедия всех мыслимых последовательностей, в которую можно ввести последовательность своих чисел, и она покажет все мыслимые математические работы, все мыслимые контексты, в которых так же последовательность встречается. И таким образом очень часто, я этим пользовался многократно, оказывается, что ответом является какая-то известная последовательность, какой-то другой математик ее отождествил и получается, что тем самым сэкономил собственное время. Может быть я не открыл то, что другие люди открыли, но я теперь знаю, как называется и могу пользоваться всем тем, что наработано.
Ольга Орлова: А с другой стороны, ведь то, что математики иногда идут параллельными путями и работают параллельно, не всегда договариваются до обозначений, приводит к возникновению другой проблемы - проблемы проверки результатоы. Узкая специализация порой приводит к тому, что результат объявлялся доказанным, а потом выяснялось, что не все там доказано. А иногда выяснялось, что вообще главные вещи не доказаны. И потом приходилось это "вручную подчищать".
Андрей Окуньков: Да, вот почему и нужно так объяснять глубокие вещи, чтобы та самая доска, о которой мы говорили в начале из равновесия не выходила. С формальной логикой и формальной проверкой доказательств у меня глубокого знакомства нет, но чисто по-человечески, когда я вижу глубоко усвоенную идею, для меня это гораздо убедительнее, чем даже какая-то компьютерная программа проверила бы и сказала, что все правильно. Цель математики не узнать ответ "да" или "нет" на все мыслимые вопросы, а цель математики, как и науки в целом, чтобы понять наш мир. Предположим, прилетели бы какие-то инопланетяне и сказали: "Да, гипотеза Римана верна и вот доказательство. Вы можете проверить на своей машине." Ну и чему мы, собственно говоря, научились от этого? Ничему не научились.
Ольга Орлова: Вы хотите сказать, что важно не просто формально получить доказательство (в данном случае гипотезы Римана, как последней из магистральных задач ХХ века, сформулированных Гилбертом) а важно то, чтобы это доказательство было естественно принято сообществом и осмыслено?
Андрей Окуньков: Да. Я считаю, что доказательство - это не цель математики. Доказательство – это мера нашего понимания. Есть, предположим, какой-то феномен, который Риман осознал. И это величайшее открытие. Но ведь мы его до сих пор очень плохо понимаем. Я, например, совсем не понимаю. Но даже мои замечательные коллеги, я думаю, не так хорошо понимают. Ну и какой бы мерой понимания было бы доказательство?
Ольга Орлова: Доказательство важно как свидетельство понимания проблемы?
Андрей Окуньков: Именно так. Моя любовь – это математическая физика. Очень часто задают вопрос: зачем математические физики доказывают те вещи, которые физически очевидны? Вот существует природа, и ничего катастрофического в ней не происходит, значит математика работает. Зачем математику нужны формальные доказательства того, что фазовый переход существует? Ведь вот была вода, она вскипела, все видят. Зачем это доказывать? А формальные доказательства, когда оно есть, если его нет, это не конец света, когда есть, просто для меня это мера нашего понимания. Это свидетельство того, что мы осознали, что происходит, когда мы можем даже не только математически выразить, не только математически описать, но и доказать. Поэтому, поворачивая то же самое с другой стороны, если есть выражение на непонятном нам языке, которое является формальным доказательством, может быть мне сильно прильет кровь к голове, я сильно перекошу ту самую доску.
Ольга Орлова: А теперь скажите такую вещь: какую же математику вы больше любите? Знаете, есть люди, которые любят свою время, есть люди, которые жалеют о том, что они не родились в какие-то другие исторические времена и им хотелось бы жить не здесь и не сейчас. Так, наверное, и в науке. Вы какую математику больше любите, ту в которую вы вошли или ту, которую вы сейчас несете своим ученикам?
Андрей Окуньков: Мне бы хоть одним глазком в будущее заглянуть... Я, конечно, понимаю ограничение своих умственных способностей, я понимаю уже сейчас, что молодежь сильнее, и быстрее, и глубже. Сейчас мне приятно, потому что среди них есть умные ребята и девушки. Мне бы подольше понимать, о чем они будут говорить. Утверждение, что математика только для молодых, совершенно неверно. Потому что сила, с которой щелкают молодые и тренированные умы олимпиадные задачи, с годами компенсируется опытом, вкусом, какими-то другими вещами, как и вообще в человеческой жизни. Нет никакого сомнения, что ученики с годами меня перерастут. Так всегда бывает. Я только мечтаю о том, чтобы мне подольше понимать, о чем они будут говорить, иначе это превратится как в инопланетное доказательство гипотезы Римана.
Ольга Орлова: Из уст сорокалетнего человека это звучит парадоксально.
