Многие считают, что математика - наука о числах. Вообще говоря, это представление довольно далеко от реального положения вещей: в большинстве математических дисциплин привычный, обывательский ряд натуральных (или целых) чисел, множество рациональных или вещественных чисел могут быть заменены на объекты, обобщающие те или иные базовые свойства чисел, - вроде законов арифметических операций. Сами числа прячутся за переменными. Редко когда в математической работе встречается упоминание конкретных чисел - конечно, за исключением цифр (часто в качестве степени или размерности пространства) и основных математических констант - числа Пи и постоянной Эйлера e.
Тем удивительнее, что именно тот раздел математики, который изучает те самые обычные целые числа - теория чисел (ее еще изредка называют высшей арифметикой), является постоянным источником элементарно формулируемых и крайне сложных для решения математических задач. Достаточно вспомнить великую теорему Ферма, окончательное доказательство которой было опубликовано только в 1995 году.
Замечательно, что многие задачи в этой области состоят как раз в поиске конкретных чисел. Прекрасный пример - вычисление так называемых чисел Рамсея. Число Рамсея R(n,k) - это минимальное число людей в группе, в которой обязательно найдется либо n попарно знакомых либо k попарно незнакомых людей. Очевидно, что R(2,2)=2, потому что два человека либо знакомы, либо не знакомы друг с другом. Относительно несложно (хотя и не элементарно) доказать, что R(3,3) = 6. Уже сложнее проверить, что R(4,4) = 18. А вот точное значение R(5,5) до сих пор не известно! Доказано только, что это число не меньше 43 и не больше 49, но какой именно из семи лежащих в этих пределах вариантов верен, не знает никто. Рассказывают, что знаменитый венгерский математик Пал Эрдош, занимавшийся исселедованием чисел Рамсея, однажды пошутил, что если Земля окажется под угрозой инопланетного вторжения и агресссоры предложат землянам либо вычислить R(5,5), либо подвергнуться тотальному уничтожению, то жителям планеты стоит собрать лучшие умы и мощнейшие компьютеры и постараться решить задачу. А если условием будет найти R(6,6), то лучше сразу начинать войну с инопланетянами.
Многие задачи теории чисел связаны с простыми числами. Простыми называются натуральные числа, не имеющие делителей кроме самих себя и единицы. Это 1,2,3,5,7,11,13,17 и так далее. Достаточно легко доказать, что множество простых чисел бесконечно - другими словами, что самого большого простого числа не существует. Но вот о том, как именно выглядит этот бесконечный ряд, как распределены простые числа среди всех остальных, до сих пор известно мало. Даже по начальным членам этого ряда видно, что простые числа ведут себя странно: иногда они идут почти одно за другим, а иногда между ними возникают довольно большие пробелы. С распределением простых чисел связана одна из главных нерешенных до сих пор проблем математики - гипотеза Римана, за решение которой американский институт Клэя назначил премию в миллион долларов.
Даже самые простые вопросы о распределении простых чисел до сих пор не имеют ответа. Например, много ли пар простых чисел, отличающихся друг от друга на 2 (ясно, что идти подряд простые числа больше 3 не могут, так как одно из них обязательно будет четным, а значит делиться на 2) - таких как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31? И вообще, конечно ли число таких пар? Это до сих пор не известно! Утверждение о бесконечности количества таких пар называется гипотезой о простых близнецах, и она до сих пор не решена.
В мае этого года малоизвестный математик Цзитан Чжан сумел доказать, что бесконечно количество пар простых чисел отличающихся друг от друга не более чем.. на 70 миллионов. Математики пошутили, что между 2 и 70 000 000 огромная разница, но она все же меньше, чем между 70 миллионами и бесконечностью. Сделав этот бесконечно широкий шаг от бесконечности к 70 миллионам, Чжан пробил маленькую брешь в стене, скрывающей от математиков вожделенное доказательство гипотезы о простых близнецах. Его метод оказался действенным, и брешь стала расширяться: начиная с 14 мая, когда был опубликован результат Чжан, ученые в течение всего лета почти каждый день улучшали его результат. 21 мая 70 миллионов превратились в 63 374 611. Спустя неделю оценку удалось снизить до 59 874 594. К 15 июня произошел прорыв: удалось доказать, что бесконечно количество пар простых чисел, разница между которыми не превышает 60 760 - это в тысячу раз лучше исходного результата. Самый последний результат, анонсированный в конце августа крупнейшим американским математиком, обладателем аналога нобелевской премии для математиков, Филдсовской медали, Теренсом Тао - 4680. В 15 тысяч раз лучше исходной оценки Чжана. И все еще в 2340 раз хуже двойки, которую нужно получить для доказательства гипотезы о простых близнецах. Сегодня мы можем утверждать, что существует бесконечно много пар простых чисел, разница между которыми не превышает 4680. Но не исключено, что где-то достаточно далеко каждое следующее простое число отстает от предыдущего по крайней мере на 4678.
Конкретные числа редко появляются в математике, потому что числа для математики выглядят в основном очень похожими друг на друга. Скажем, двумерное пространство отличается от трехмерного кардинальным образом (например, случайное блуждание, стартовавшее из какой-то точки плоскости, обязательно будет петлять, возвращаясь в исходную точку бесконечное число раз, а в трехмерном пространстве с единичной вероятностью уйдет куда-то в сторону бесконечности), а вот трехмерное и пространства больших размерностей во многих отношениях очень похожи. Поэтому для огромного класса математических задач любое натуральное число начиная с тройки можно заменить на произвольное N, и от этого ничего не поменяется. Математика, как и любая наука, в первую очередь ищет закономерности, внутренние свойства, общие правила, поддающиеся обобщению. Числа анонимны и прячутся за буквами какого-нибудь - обычно латинского или греческого - алфавита. Тем красивее результаты, в которых числа предстают открыто: 2, 43, 49, 4680 или 70 000 000. Это и есть настоящаяя математическая магия.
Тем удивительнее, что именно тот раздел математики, который изучает те самые обычные целые числа - теория чисел (ее еще изредка называют высшей арифметикой), является постоянным источником элементарно формулируемых и крайне сложных для решения математических задач. Достаточно вспомнить великую теорему Ферма, окончательное доказательство которой было опубликовано только в 1995 году.
Замечательно, что многие задачи в этой области состоят как раз в поиске конкретных чисел. Прекрасный пример - вычисление так называемых чисел Рамсея. Число Рамсея R(n,k) - это минимальное число людей в группе, в которой обязательно найдется либо n попарно знакомых либо k попарно незнакомых людей. Очевидно, что R(2,2)=2, потому что два человека либо знакомы, либо не знакомы друг с другом. Относительно несложно (хотя и не элементарно) доказать, что R(3,3) = 6. Уже сложнее проверить, что R(4,4) = 18. А вот точное значение R(5,5) до сих пор не известно! Доказано только, что это число не меньше 43 и не больше 49, но какой именно из семи лежащих в этих пределах вариантов верен, не знает никто. Рассказывают, что знаменитый венгерский математик Пал Эрдош, занимавшийся исселедованием чисел Рамсея, однажды пошутил, что если Земля окажется под угрозой инопланетного вторжения и агресссоры предложат землянам либо вычислить R(5,5), либо подвергнуться тотальному уничтожению, то жителям планеты стоит собрать лучшие умы и мощнейшие компьютеры и постараться решить задачу. А если условием будет найти R(6,6), то лучше сразу начинать войну с инопланетянами.
Многие задачи теории чисел связаны с простыми числами. Простыми называются натуральные числа, не имеющие делителей кроме самих себя и единицы. Это 1,2,3,5,7,11,13,17 и так далее. Достаточно легко доказать, что множество простых чисел бесконечно - другими словами, что самого большого простого числа не существует. Но вот о том, как именно выглядит этот бесконечный ряд, как распределены простые числа среди всех остальных, до сих пор известно мало. Даже по начальным членам этого ряда видно, что простые числа ведут себя странно: иногда они идут почти одно за другим, а иногда между ними возникают довольно большие пробелы. С распределением простых чисел связана одна из главных нерешенных до сих пор проблем математики - гипотеза Римана, за решение которой американский институт Клэя назначил премию в миллион долларов.
Даже самые простые вопросы о распределении простых чисел до сих пор не имеют ответа. Например, много ли пар простых чисел, отличающихся друг от друга на 2 (ясно, что идти подряд простые числа больше 3 не могут, так как одно из них обязательно будет четным, а значит делиться на 2) - таких как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31? И вообще, конечно ли число таких пар? Это до сих пор не известно! Утверждение о бесконечности количества таких пар называется гипотезой о простых близнецах, и она до сих пор не решена.
В мае этого года малоизвестный математик Цзитан Чжан сумел доказать, что бесконечно количество пар простых чисел отличающихся друг от друга не более чем.. на 70 миллионов. Математики пошутили, что между 2 и 70 000 000 огромная разница, но она все же меньше, чем между 70 миллионами и бесконечностью. Сделав этот бесконечно широкий шаг от бесконечности к 70 миллионам, Чжан пробил маленькую брешь в стене, скрывающей от математиков вожделенное доказательство гипотезы о простых близнецах. Его метод оказался действенным, и брешь стала расширяться: начиная с 14 мая, когда был опубликован результат Чжан, ученые в течение всего лета почти каждый день улучшали его результат. 21 мая 70 миллионов превратились в 63 374 611. Спустя неделю оценку удалось снизить до 59 874 594. К 15 июня произошел прорыв: удалось доказать, что бесконечно количество пар простых чисел, разница между которыми не превышает 60 760 - это в тысячу раз лучше исходного результата. Самый последний результат, анонсированный в конце августа крупнейшим американским математиком, обладателем аналога нобелевской премии для математиков, Филдсовской медали, Теренсом Тао - 4680. В 15 тысяч раз лучше исходной оценки Чжана. И все еще в 2340 раз хуже двойки, которую нужно получить для доказательства гипотезы о простых близнецах. Сегодня мы можем утверждать, что существует бесконечно много пар простых чисел, разница между которыми не превышает 4680. Но не исключено, что где-то достаточно далеко каждое следующее простое число отстает от предыдущего по крайней мере на 4678.
Конкретные числа редко появляются в математике, потому что числа для математики выглядят в основном очень похожими друг на друга. Скажем, двумерное пространство отличается от трехмерного кардинальным образом (например, случайное блуждание, стартовавшее из какой-то точки плоскости, обязательно будет петлять, возвращаясь в исходную точку бесконечное число раз, а в трехмерном пространстве с единичной вероятностью уйдет куда-то в сторону бесконечности), а вот трехмерное и пространства больших размерностей во многих отношениях очень похожи. Поэтому для огромного класса математических задач любое натуральное число начиная с тройки можно заменить на произвольное N, и от этого ничего не поменяется. Математика, как и любая наука, в первую очередь ищет закономерности, внутренние свойства, общие правила, поддающиеся обобщению. Числа анонимны и прячутся за буквами какого-нибудь - обычно латинского или греческого - алфавита. Тем красивее результаты, в которых числа предстают открыто: 2, 43, 49, 4680 или 70 000 000. Это и есть настоящаяя математическая магия.
