Александр Альбертович Вешняков родился в 1952 году в деревне Байкалово Приморского района Архангельской области. С отличием окончил Архангельское мореходное училище. Работал мотористом, механиком на судах Северного морского пароходства. В 1985 году возглавил партком Северного речного пароходства, в 1987 году стал секретарем Архангельского горкома КПСС.
В 1990 году Вешняков был избран народным депутатом РСФСР. В 1993 году занял должность экономического советника департамента морского транспорта Министерства транспорта РФ. В марте 1994 года начал работать в информационно-аналитическом отделе Центральной избирательной комиссии. В феврале 1999 года Вешняков был избран одним из пяти членов ЦИК от Государственной думы, а в марте стал председателем Центризбиркома.
В декабре 2002 года возглавляемый Вешняковым Центризбирком расформировал Красноярскую краевую избирательную комиссию, признавшую недействительными результаты губернаторских выборов. Своим решением ЦИК утвердил победителем выборов Александра Хлопонина, получившего во втором туре большинство голосов избирателей.
В октябре 2004 года Вешняков поддержал предложение президента Путина заменить прямые выборы губернаторов утверждением кандидатов, представленных президентом страны, местными законодательными собраниями. При этом глава ЦИК назвал это предложение «вынужденной политической мерой» и выразил надежду, что она будет «временной». В сентябре 2006 года глава ЦИК выступил против проведения референдума о продлении полномочий президента Путина, заявив, что основанием для продления полномочий главы государства может стать лишь поправка к конституции.
Александр Вешняков - сторонник активного отдыха, увлекается лыжами, плаванием, ездой на велосипеде. Он женат, у него двое детей - сын Алексей и дочь Анжела.