Александр Костинский: Сегодня мы будем обсуждать, какой математики не хватает в современном образовании.
В студии Радио Свобода – преподаватель Московского физико-технического института Алексей Васильев и сотрудник Института теоретической и экспериментальной физики Игорь Окштейн.
И первый мой вопрос Алексею Васильеву. Как бы «сердцем» математики считается доказательство. Вот я читал тезисы вашего выступления, тезисы вашей позиции, и там написано, что вообще-то надо менять отношение к доказательству. Скажите, пожалуйста, что вы под этим подразумеваете? Естественно, мы говорим о преподавании.
Алексей Васильев: Я под этим понимаю очень простую вещь, что очень часто, и это, в общем-то, хорошая традиция российского образования, - это то, что у нас полная доказательная система часто дается. То есть строго есть все этапы получения - от исходных положений до конечных выводов.
Александр Костинский: Но мы это еще говорим и о высшей школе, а не только о средней школе, да?
Алексей Васильев: Да, естественно. И очень хорошо, что такое есть. Но очень часто нет другого, что не менее важно. Потому что формальная строгость – это одна необходимая сторона. А другая необходимая сторона – это все-таки чтобы было, во-первых, такое построение основано на каком-то элементарно-простом и максимально... как я это называю, минимально достаточном изложении основано. То есть удобно, чтобы было какое-то совсем простое утверждение, которое имеет в самом общем виде... вот выражает то же самое утверждение теоремы.
Александр Костинский: То есть доказательную силу. То есть вы говорите о том, что надо не только давать строгие доказательства, но в некоторых случаях заменять их или подкреплять правдоподобными рассуждениями, да? Если говорить терминами Дьердя Пойа.
Алексей Васильев: Да. То есть я бы сказал, что на самом деле разумное... при современной, так сказать, структуре образовательных материалов и возможностей ничто не мешает давать это все одновременно. Причем полное доказательство часто давать самым последним и мелким шрифтом. Потому что учащийся должен понимать, что если у него возникает какое-то сомнение, он его легко может разрешить. Но перед этим ему нужно понять, вообще, к чему это относится и зачем это нужно. То есть это тоже очень важная сторона. Он должен понимать не вот то, что можно такое доказать, а то, что это где-то понадобится и что для него важно в этом действительно разобраться.
Александр Костинский: Понятно. Вопрос Игорю Окштейну. Скажите, пожалуйста, вот не получится ли так, что... как бы многие консервативные люди говорят, что «и так идет атака на математику, и так сокращаются часы, допустим, в средней школе, и так как бы все идет к упрощению, а тут еще вы говорите о том, чтобы заменить часто строгие доказательства, ну, или более строгие доказательства менее строгими». Не подорвет ли это, в общем-то, основы преподавания математики?
Игорь Окштейн: Мне кажется, что не подорвет, и по простой причине, что доказательную основу математики все равно не получается просто преподать школьникам так, чтобы они реально по этой системе последовательных доказательств могли свободно ходить. Они способны какой-то кусок выучить. Они способны его воспроизвести. Подавляющее большинство школьников реально не владеют этим аппаратом в сколько-нибудь удовлетворительной степени.
Александр Костинский: То есть вы хотите сказать, что реально они зубрят доказательства, да? Задачи умеют решать, а доказательство – это, в общем, такой довесок, да?
Игорь Окштейн: Конечно. Потому что реально проверяется в большинстве случаев не доказательство, а умение решать задачи. И на мой взгляд, это совершенно не случайно. Потому что проверять умение доказывать...
Александр Костинский: И это хорошо?
Игорь Окштейн: Ну, это так есть. Это в некотором смысле плохо, а в некотором смысле хорошо. И я сейчас об этом скажу. Но вот есть факт, что реально в средней школе никогда или почти никогда на сколько-нибудь важных этапах проверки знаний учащихся не проверяют их умение что-либо доказывать.
Александр Костинский: За исключением экзаменов.
Игорь Окштейн: Да и на экзаменах тоже. Потому что на экзаменах реальная последовательность доказательства заменяется некоторыми утверждениями, которые нужно помнить, что вот такое утверждение есть. Если попытаться заставить учащихся по ходу решения задачи давать полное доказательство всего, чем они пользуются, то окажется, что они этого все равно не умеют. Я не хочу сказать, что этого никто не умеет. Но вот на мой взгляд, это является фактом, что порядка 80-90 процентов учащихся... а я думаю, что я цифру даже занижаю, что реально эта цифра больше, но я на всякий случай говорю о 80 процентах, так вот, они пользоваться вот этой системой доказательств и относиться к ней как к строгой системе не умеют.
Поэтому, вообще, в современной школе возникает развитая система взаимного очковтирательства. Я сейчас объясню, что я имею в виду. Во-первых, проверяется далеко не все, чему учат. Учат всегда гораздо большему, чем то, что потом проверяется. Во-вторых, сложные навыки даются, а спрашиваются потом сравнительно более простые. И так далее.
Я уже говорил на этой передаче, даже неоднократно, наверное, вот что значит – оценка «тройка». Вот «тройка» - это что? Это школьник реально кое-что умеет, и это какие-то осколки, ошметки, в общем, это совсем не то, чему его пытались учить. Тем более, если речь идет о некой системе доказательств и владении этой системой. Вот как можно владеть системой на «тройку», я никогда не понимал и сейчас не понимаю. Вот либо да, либо нет. А что такое «тройка»?..
Поэтому мне кажется, что здесь нужен просто какой-то более аккуратный подход. Что, с одной стороны, действительно бывают школьники, которые этой вещью овладеть могут, и нужно постараться, чтобы они ею овладели.
Александр Костинский: И вопрос Алексею Васильеву. То есть, как я понимаю, вы хотите привести фактически систему преподавания поближе к реальности. Что вот в действительности, когда говорят, что надо строго доказывать, по большому счету, это некая (может быть, я скажу не так жестко, как Игорь Окштейн, про очковтирательство) некоторая иллюзия, что очень много времени тратится формально на то, что просто запоминается. А вот те связи, которые были бы животворными, которые могли бы давать движение, чтобы ребята могли с помощью таких же, пусть не строгих, но правдоподобных рассуждений двигаться дальше, их не дают.
Алексей Васильев: А по-другому даже скажу. И это ответ, по сути, на предшествующий вопрос – не получается ли вытеснение математики. На самом деле, получается, если следовать тому, чем мы занимаемся, то наоборот. Потому что дети, которых мы учим, или студенты, их в реальности учат параллельно всему формальному и обычному.
Александр Костинский: То есть у вас конкуренция? Вы в реальной конкуренции?
Алексей Васильев: Нет-нет, наоборот, мы не в конкуренции. Мы фактически занимаемся... это увеличение часов математики. Просто нет смысла учить только навыкам одного типа. Даже если исходить из того, что они чрезвычайно полезны и необходимы... ну, как бы логически это правильно, должна быть какая-то цепочка от начала до конца. И человек должен понимать, что он может все, по сути дела, современные знания в области точных наук пройти по ней от начала до конца.
Но не менее важно уметь ходить, не делать вот такие циркульные шаги или какие-то специфические шаги, а делать это свободно. А свободные действия, они предполагают целый ряд возможностей, которые очень мало применяются или обсуждаются. Потому что, во-первых, есть вариант доказательства каких-то утверждений типа эксперимента. Ну, самый простейший пример, который можно осуществить в «докомпьютерную эру» – это подбрасывание монеты.
Александр Костинский: И теорию вероятности, да?
Алексей Васильев: Да. Сейчас есть масса возможностей сделать то же самое с компьютером, и гораздо более эффективно, чему не учат. То есть учат, если есть какая-то численная задача, писать программу и, соответственно, потом долго заниматься отладкой и так далее. Но все среды баз данных, они позволяют осуществить гораздо более эффективные действия и гораздо более быстрые, которые не требуют никакого умения программировать, которые позволяют проверять почти любые математические утверждения.
Александр Костинский: В частности, математика как экспериментальная наука.
Алексей Васильев: Совершенно верно. Такая вот экспериментальная математика, она очень убедительна. Потому что человек взял любое утверждение, взял некий вариант частный или несколько таких случаев – и увидел, что вот то, что он видит, формально доказано, оно действительно подтверждается. Какой лучший аргумент можно предъявить.
Александр Костинский: Вот мы называли, какой математики не хватает. То, как я понял, не хватает индуктивной математики. Это очень важная мысль. И мой любимый автор Дьердь Пойа очень много об этом говорил. У него решения многих задач простые. Допустим, какие-то числа в ряду. И чисто экспериментально люди находят закономерности в математике, так же как они находят в природе.
Алексей Васильев: Совершенно верно.
Александр Костинский: И дело в том, что вот эта индуктивная часть математики, она практически совсем не показана. И вы считаете, если я вас правильно понял, что ее действительно надо показывать.
Алексей Васильев: Во-первых, ее нужно показывать. Во-вторых, ее надо развивать. Потому что есть масса задач, которых вообще нет в классических курсах математики. Например, если вы предложите учителю математики или математику решить систему уравнений из двадцати нелинейных уравнений, ему просто не придет в голову мысль, что такого рода задача может быть решена.
Александр Костинский: Вы имеете в виду аналитически?
Алексей Васильев: Аналитически, да. Хотя такая задача может быть, во-первых, очень актуальна во многих ситуациях. Ну, можно дальше поговорить о том, в каких именно. А главное, она легко решается. И мы школьников обучаем решать такого рода задачи, которые не решит никакой выпускник традиционного вуза.
Александр Костинский: И пришло сообщение на пейджер: «Совершенно согласен с тем, что необходимо рассказывать не только и, может быть, не столько доказательства, но и идеи доказательств, и давать подходящие образы».
И вопрос Игорю Окштейну. Скажите, пожалуйста, а вот насколько хорошо ребята воспринимают вот этот материал, когда вы даете математику шире? Я опять же ссылаюсь на того же Пойа, он просто очень ясно это говорил. Он говорил, что математика – это не только умение доказывать, что все признают, но и умение догадываться. Вот учить доказывать – это фактически некие формальные процедуры, которые надо исполнить. А учить догадываться – это ведь все-таки уже что-то от искусства, что-то от интуиции.
Игорь Окштейн: Вы знаете, во-первых, давайте я скажу, что я все-таки не математик, а биолог по исходному образованию. А то по вопросу вы меня почти в математики зачислили.
Александр Костинский: Но вы постоянно математику в биологию продвигаете.
Игорь Окштейн: Это, пожалуй, правда. Поэтому я все-таки про биологию скажу. Очень часто в биологических задачах бывает нужно произвести некие математические расчеты. И редко бывает так, чтобы этот расчет требовал безумной точности какой-то. Обычная точность для вот таких биологических прикидок, ну, 10 процентов. Может быть и 1 процент, но это уже очень большая редкость. И оказывается, что школьники, студенты и вообще люди, сталкивающиеся с такими задачами, чуть ли не абсолютно все, сразу же начинают реализовывать навыки, которые у них со времен средней школы остались. Вот они берут некое выражение и начинают его преобразовывать достаточно сложно. Сводят задачу к какой-то следующей задаче. В общем, это превращается в какие-то безумно длинные выкладки, в ситуации, когда на самом деле, не знаю, график построить, очень примерно, догадаться, как идет функция. В общем, есть гораздо более простые навыки, которых просто не дают. И это ужасно мешает.
Александр Костинский: Вот если говорить о естественных науках настоящих, то точность, которую дают формальные методы, она не только не нужна, но она и дает некое ложное представление о точности нашего понимания природы. Да или нет?
Игорь Окштейн: Конечно. Вот есть какая-то утрата чувства реальности. Вот все привыкли к тому, что если математическая задача, значит, ее нужно решать обязательно точно. И в течение всего времени обучения математике все так и делают.
Александр Костинский: До пятого знака, да?
Игорь Окштейн: В общем виде, получить общую формулу, понять, как ведет себя эта функция и все ее экстремумы найти. В общем, вместо некоторого ощущения реальности и понимания того, что решение на самом деле единственное из неких соображений. Хотя математически могут вылезти какие-то еще решения, от которых надо потом будет избавиться. В общем, какого-то чувства реальности не хватает при применении математики к конкретной задаче. Вот это главное, чего не хватает.
Александр Костинский: Понятно. Вопрос Алексею Васильеву. Вот в вашей программе преобразования математики (я немножко иронизирую, конечно), вот в том, чем вы занимаетесь, есть такие слова: «ориентация на функциональность, как формулирование получаемых возможностей в явном виде». То есть что это такое? То есть вы считаете, что в математике надо давать какие-то более функциональные разделы или подходы?
Алексей Васильев: Нет. Я хочу сказать другое, что нужно наряду с формальным изложением набора понятий и следствий из них также определять, что же, в конечном счете, мы можем делать, пользуясь этим набором.
Александр Костинский: То есть постановка задачи вначале что ли?
Алексей Васильев: Нет, в конце. Но можно и вначале. Это уже зависит от формата...
Александр Костинский: То есть вы хотите сказать, что в современной математике дают, условно, гаечные ключи, но не говорят, к какой машине это будет применяться?
Алексей Васильев: Примерно так. Но это стандарт, который победил. И об этом, собственно, сами математики говорят, что изложения очень формальные, они аксиоматические, значит, они правильные, но не хватает вот того, о чем мы на самом деле с самого начала уже говорили. Поэтому я повторяться-то не буду. А важно все-таки, чтобы наряду вот с таким изложением, когда есть все, что нужно, то необходимо, чтобы было бы и сказано о том, а какие, собственно, возможности мы получаем. Причем ясно, что некие возможности, он тривиальные. Но есть масса нетривиальных возможностей, о которых ничего не говорят. Я простые примеры могу привести.
Александр Костинский: То есть, грубо говоря, математический инструмент описания, язык, который дается, но не дается, чего он может описывать, да?
Алексей Васильев: Ну да. То есть где и как это применять. Я приведу пример, может быть, не очень всем известный, но просто там как бы утверждение очень простое. Скажем, уравнения математической физики, которые изучают студенты математических и физико-математических специальностей, главная их особенность состоит в том, что такие уравнения желательно никогда не решать таким образом, как это изложено в курсах уравнений математической физики.
Александр Костинский: Численно их всегда решают в основном?
Алексей Васильев: Нет. Ну, ясно, что поскольку очень часто все сводится к сложным численным расчетам, то нужно понимать, что если мы получаем задачу типа уравнения математической физики, то это значит, что мы попали в очень тяжелую ситуацию, и следует поискать какие-то ходы, чтобы от этого избавиться, чтобы найти какой-то более простой вариант.
Второе. Нужно понять, поскольку сама по себе вот эта процедура сложна технологически, то нужно понять, чего нам от этой задачи нужно. Очень часто нам нужно не само решение, а какие-то его свойства. Очень про многие задачи можно сказать, какое будет свойство, не получая его в явном виде.
Александр Костинский: У Поля Дирака было такое знаменитое изречение: «Я понимаю уравнения, если вижу их решение, не решая их».
Алексей Васильев: Да, совершенно верно. То есть нужно понимать, каким образом можно заниматься вот такого рода деятельностью. И в разных ситуациях, в разных разделах вычислений, в том числе и которые изучают в школе, очень важно очертить круг вот тех возможностей, а особенно нетривиальных, которые есть. Вот варианты разные решения задач кинетических, многомерных, которые мы рассказываем, как решать школьникам, они очевидны и нетривиальны. Или аналогичные задачи тоже многомерные, не кинетические, но не линейные. То есть звучит это громоздко, но на самом деле речь идет опять же... и в чем, собственно, функциональность – это то, что есть некие реальные системы типа системы химических равновесий, которые по определению в любой реальности являются очень сложными. Вот такого рода ситуации вполне можно описывать совершенно элементарными методами и получать решения как в виде числа, так и в виде зависимости от параметров, притом, что параметров, как кажется, безумное число. То есть решений можно получить в зависимости от ста параметров задачи. Вот такого рода нетривиальные возможности, они есть почти везде, но нигде об этом ничего не рассказывается.
Александр Костинский: То есть вы хотите сказать, что идет довольно формальный подход, который, вообще-то, по умолчанию, более широкий, но этот более широкий подход не удается реализовать просто потому, что не совсем понятно, как это сделать. И из-за такой, может быть, большой ширины не удается сделать математику рабочим инструментом.
Алексей Васильев: Совершенно верно. То есть я могу сказать и по-другому, что во многом такой кризис современного физико-математического образования и вот пессимизм, который чувствуется по выступлениям, в частности на Радио Свобода... то есть пессимизм явно чувствуется. И понятно, собственно, с чем он связан. Что та математика, которой учат, - это фактически математика из физики и математика из математики, она вот как раз не очень востребована. А востребована совершенно другая математика, которой мы, в частности, учим своих детей.
Александр Костинский: И пришли интересные, на мой взгляд, сообщения на пейджер. «В отсутствие преподавания в школах логики необходимость умения и само умение доказывать дает только математика. Дело только за умением преподавателя. С уважением, Николай из Санкт-Петербурга».
Иван из Москвы пишет: «Главное в преподавании математики не доказательство, а ученик. В передаче (наверное, имеется в виду наша передача) отсутствует как ученик, так и учитель, который работает с учеником. Это абсурд». Ну, у нас просто тема, может быть, другая.
«Согласен с физиком (это, наверное, с вами, Игорь). Формальные знания ведут к черно-белому, тоталитарному мышлению», - Сергей пишет.
Вот Николай Ломов из Санкт-Петербурга пишет: «Нашей математике не хватает положения о бесконечности. В справочнике Выгодского оно извращено. В моей формуле бесконечность – это функция, по сравнению с которой любая величина является бесконечно малой».
Игорь Окштейн, вам вопрос. Давайте мы немного поговорим еще... может быть, приведем какие-то конкретные примеры, кроме тех, которые приводил Алексей Васильев, нового подхода. Может быть, на каких-то конкретных вещах попытайтесь прояснить ваш подход к математике.
Игорь Окштейн: Я опять все-таки буду говорить, скорее, как биолог, чем как математик. Вот есть целая область в биологии, в которой очень важно умение математическими методами что-то, какие-то простые оценки получить, что-то прикинуть. Это количественная физиология. Вот все или, может быть, многие слушатели знают книжку Шмидта-Ниельсена «Физиология животных». Вот эта книжка положила начало некоторой эпохе в биологии, когда в биологию пришли такие сравнительно простые количественные расчеты, позволяющие прикинуть, что возможно, что не возможно в каких-то физиологических задачах, как можно и как нельзя там что-то регулировать – какие-то такие расчеты. Вот это, на мой взгляд, очень естественная область применения вот таких расчетов, о которых мы говорим. Причем это доступно преподавателям биологии на уроках биологии.
Александр Костинский: Даже в школе?
Игорь Окштейн: В школе, конечно. Можно хотеть от учеников каких-то простых расчетов, позволяющих точно сказать, что вот на такую глубину кит может нырнуть, а на такую не может, потому-то и потому-то.
Александр Костинский: А это улучшит понимание биологии? Не получится ли так, что, вообще-то, мы на биологии решаем математические задачи, а саму биологию не усваиваем?
Игорь Окштейн: В биологии, по крайней мере, в том ее виде, в каком она преподается в школе, очень важна связанность вот этого знания. Потому что очень часто получается, что для школьников биология остается набором сведений, лежащих на разных полочках в голове, забываемых регулярно.
Александр Костинский: Зоология, анатомия, ботаника...
Игорь Окштейн: Конечно. И это не становится единой системой. Поэтому, на мой взгляд, все, что придает этой системе связанность, важно и, безусловно, должно применяться.
Александр Костинский: А эти методы придают связанность?
Игорь Окштейн: Конечно. Собственно, я один пример уже привел: на какую глубину может нырнуть кит? Эта задача требует учета большого числа разных соображений. Первое – с какой скоростью он может плыть? Второе – на какое время у него может хватить запаса кислорода? Третье – какие есть возможности для того, чтобы это время увеличить? Увеличить кислородную емкость крови, увеличить количество крови, может быть. То есть тут есть очень большая палитра возможностей, и попытка каждой такой возможностью воспользоваться, ну, из роли конструктора этот кита, например, заставляет нечто посчитать, нечто подумать. И очень быстро эти соображения становятся число биологическими. То есть там математическая прикидка занимает важное место, но это далеко не все.
Александр Костинский: Но она позволяет продвинуть, как я понимаю, да?
Игорь Окштейн: Конечно. Есть соображения теплообмена, например, с какой скоростью этот кит тепло будет терять, какая у него вообще может быть скорость метаболизма, а какая не может. И на каждое из этих соображений есть какие-то закономерности, которые...
Александр Костинский: И не очень сложные, да?
Игорь Окштейн: Не очень сложные. Ну, задача про кита – это пример довольно сложной задачи. А есть гораздо более простые.
Алексей Васильев: Но я бы даже добавил, то есть я бы выступил в качестве биолога. Потому что вот если мы рассматриваем погружение кита, то мгновенно возникает самая разнообразная физиология. Во-первых, существенно то, что кит может сэкономить. Он может выдохнуть воздух, уменьшить свою плотность, и фактически не честно плыть, как есть плавание по горизонтали, а просто опускаться в соответствии с тем, что у него плотность стала больше. Аналогичным образом всплывать он может, пользуясь, например... пользуется на самом деле он этим или не пользуется – это вопрос другой, но вот газовая железа у некоторых плавающих животных есть. Вот можно было бы подумать: а нужна ли киту, скажем, газовая железа как способ подъема с большой глубины? Следующий вопрос: как можно увеличить запасы кислорода? Ясно, что если он выдыхает, то, значит, в легких кислорода не накопишь. Где он должен быть? То есть первое и очень простое соображение, что кровь должна содержать много кислорода. И здесь объяснение известным физиологическим фактом, что гемоглобина у него в два раза больше, чем у человека. Следующее, легко понять же, собственно, что в таком же качестве вообще можно все тело кита использовать. И отсюда возникает связь с количеством миоглобина в тканях, который...
Александр Костинский: Миоглобин – это что?
Алексей Васильев: То есть вот есть гемоглобин, который в кровеносной системе переносит кислород, и его функция – отдавать. А есть миоглобин, который помогает его... ну, считается, что накапливать и переносить в тканях. И ясно, что объем крови в сравнении с объемом тела гораздо меньше. Вообще говоря, кислорода можно было бы в самом теле кита накопить безумно много. И вот эту тему можно продолжать бесконечно. Потому что есть оценки...
Александр Костинский: И она связана, да?
Алексей Васильев: Они все связаны друг с другом.
Александр Костинский: Это не искусственная постановка задачи, да?
Алексей Васильев: Конечно. Все разделы физиологии реально, получается, взаимосвязаны. Потому что есть работа мускулатуры, то есть можно оценивать: а какую, собственно, силу может развить кит по сравнению с той архимедовой силой, которая соответствует уменьшению или увеличению плотности? То есть тут получается сразу все в одной задаче. По одной задаче можно изучить курс физиологии плавающих животных.
Александр Костинский: И нам дозвонилась Нина Сергеевна из Москвы. Здравствуйте, Нина Сергеевна.
Слушатель: Здравствуйте. Я хочу поддержать ваш разговор. Но вы еще не упомянули в вашей задаче о ките... в одном журнале была сноска, что «Пи» для китов будет 3,14. Я говорю это к тому, что вы совершенно ушли от математики.
А вопрос мой состоит в следующем. В математике есть свои внутренние проблемы. Есть теорема Геделя о неполноте, допустим, есть статья, которая недавно опубликована, самого ведущего нашего математика Арнольда «Долго ли проживет математика?», где говорилось, что математике осталось мало жить, нужно что-то менять. И вообще, если вспомнить Павла Флоренского, который написал свою книгу о мнимостях в геометрии, то не все хорошо в математике даже с понятием мнимости и комплектных чисел.
А вопрос мой сводится вот к чему. Нужно ли в преподавании математики говорить о тех ограничениях, которые, в принципе, в математике существуют, или учить так, как, например, учат в школе? Посмотрите, что сейчас делается, какая проблема в школе. Возьмите ряд учебников, где ученикам говорят, что «если дискриминант меньше нуля, то решения нет». И никто дальше не продолжает, что если вывести числовую шкалу, которую, в принципе, нужно рассказывать... А уже вещественно шкалу ограничивают. Они вводят в поле комплексных чисел. И, конечно, решения нет. И люди не понимают: дискриминант отрицательный, решения нет. И основная теорема алгебры тут побоку. Так вот как же преподавать в школе математику? То ли выводить в более широкое поле математической мысли или заставлять, как вы говорите, - зубрежка, зубрежка и зубрежка? Потому что сейчас в математике после педагогического вуза половина преподавателей просто безграмотные.
Александр Костинский: Спасибо большое. Очень много вопросов. И очень интересное мнение Нины Сергеевны.
Алексей Васильев, вы, может быть, ответите?
Алексей Васильев: Очень богатый вопрос, потому что тут массу можно тем обсуждать. Но первая тема, которая в связи с решением квадратных уравнений возникает, и сразу вполне прикладная и математическая, что очень часто квадратные уравнения во многих задачах можно решать вообще без дискриминанта, а перебором, когда ищется один только корень. Просто есть много задач, где ясно... Так решаются очень многие химические задачи. Это и в кинетике так, и в равновесиях так. Просто очень часто известно, что решение одно и действительное, и его можно получить, перебирая варианты с выбрасыванием слагаемых неких... то есть если формально это квадратное уравнение, то в нем три слагаемых: есть квадратичное, линейное и свободный член. То есть выбросив одно из этих трех слагаемых, можно получить решение и, соответственно, подтвердить, что оно правильное, выяснением того, что выброшенное действительно оказалось мало.
Александр Костинский: Вопрос-то у слушательницы был, расширять ли, условно говоря, комплексные числа...
Алексей Васильев: Я же сказал, что вопрос богатый. То есть это по поводу решения квадратного уравнения как такового.
Вторая тема по поводу решения уравнений второй, третьей и так далее степеней и комплексных чисел. То есть, вообще говоря, если комплексные числа органически вводятся, а это, в общем, не сложно сделать, то, конечно, они как бы чрезвычайно полезны и для единства картины математической, и много для чего. То есть у нас как раз проблема другая. Когда мы учим детей, у нас дети знают, что в уравнении седьмой степени есть семь корней, и, соответственно, им нужно объяснить, что нам нужно не семь во многих задачах, а один, а шесть, стало быть, не нужны.
Александр Костинский: Но это вы говорите о мотивированных, уже знающих математику и знающих теорему Гаусса, о том, что решения могут быть в радикалах только до четвертой степени.
Алексей Васильев: Ну да. Но просто можно это давать в варианте более привычном для физико-математической школы, а можно эту же теорему давать в варианте, который более доступен. Мне его, правда, трудно объяснить по радио, но он существует.
Александр Костинский: И нам дозвонилась Лия Васильевна. Добрый день.
Слушатель: Добрый день. Я бабушка, мне 70 лет. Так вот, я в советской школе училась, и я до сих пор помню все, чему меня учили. И вот почему я это говорю. У меня есть 15-летняя внучка. И я в ужасе. В школе, где-то в 6-7-ом классе (сейчас она в 9-ом) давали три номера примеров решить и задачу. И я случайно однажды заглянула к ней в тетрадь. И я пришла в ужас оттого, что арифметические примеры решены, а задача не решена. И ей поставлено «четыре с минусом». Я говорю: «Лика, у тебя же задача не решена». «Как так?..», - сказала она. И я ей доказала, и заставила ее решить задачу, сделать проверку. И три-четыре случая было таких. То есть завышают отметки детям. И если нет бабушек, мам, дедушек, пап, которые могли бы проверить и понять, что происходит, тогда все дети будут неучами.
Александр Костинский: Спасибо. Вы очень интересную тему затронули. Но тема у нас все-таки – чего не хватает в нынешней математике и почему такое плохое преподавание. В этом есть какие-то и системные вещи.
И я Игоря Окштейна хотел бы спросить. Если говорить образно, каких кубиков все-таки не хватает, благодаря которым, может быть, ребята бы научились решать эти задачи?
Игорь Окштейн: Я могу сказать про сравнительно младших школьников. Вот я многократно сталкивался с тем, что школьникам где-то в классе 7-ом, может быть, в 8-ом достаточно легко было бы объяснить, как себя ведут графики функций в зависимости от того, как меняется сама функция. Берется функция: Y = Х, потом Y = модуль Х, потом Х квадрат. Вот как преобразуются графики в зависимости от того, что делается с функцией. Вот это такой частный пример. На самом деле я думаю, что про кубики, конечно, правильнее спрашивать Алексея Васильева. Но это просто такой пример.
Александр Костинский: Хорошо. Алексей, пожалуйста, расскажите, каких кубиков, образно говоря, не хватает в фундаменте математического образования?
Алексей Васильев: Я могу кратко перечислить, потому что более подробно мы просто не сможем это обсудить. Первое, чего явно не хватает, - это одной важной симметрии, которая называется «качественная однородность», и которая в простейшем случае сводится к замене переменных, то есть к инвариантности относительно замены переменных, то есть когда система уравнений не меняется, если мы одну переменную меняем на другую и обратно.
Александр Костинский: Ну а пример какой-нибудь жизненный приведите.
Алексей Васильев: Пример жизненный очень простой. Если у нас происходит очень много химических или биохимических превращений, а мы знаем, что каждый фермент или каждая реакция, она принципиально отличается от другой – там другое вещество превращается. Но так же, как они отличаются по своему содержимому, так они имеют и очень много общего по механизму. Потому что, скажем, если это превращение биохимическое, то есть с участием катализаторов, то каждое из превращений обладает тем свойством, что если у нас вещества превращаемого нет, то скорость равна нулю. Если это концентрация начинает возрастать, то скорость линейно возрастает. А при некой концентрации скорость выходит на насыщение. И это общее для всех этих превращений, хотя они все разные.
Точно так же в организме, если мы берем какую-нибудь задачу из количественной физиологии, то у нас клеток безумное число разных. Они функции выполняют разные. Но очень много общих свойств у них есть. Если мы сформулируем правильно эти общие свойства, то мы можем анализировать очень сложную систему. То есть в каком-то смысле это решение вот здесь возникает такой классической проблемой или парадокса перехода от сложного, микроскопического описания к макроскопическому.
Александр Костинский: Более общему и более простому.
Алексей Васильев: Да, совершенно верно. То есть оказывается, что вот именно в том случае, если мы понимаем суть вот этих общностей, вот этой микроскопической, то мы можем свести описание очень сложной системы, для которой необходима каждая из многочисленных составляющих, то есть убираем любое – организм перестает функционировать, но, тем не менее, все в целом мы можем свести к описанию очень малым числом параметров. Просто эти параметры – это некие симметризованные комбинации вот этих многочисленных параметров подробного описания. И если какая-то обращается в ноль, то этот параметр, соответственно, интегрированный тоже обращается в ноль. И тем самым все свойства выполнены. Но реально мы получаем упрощение описания. И это для функциональности и возможности какие-то производить действия, предсказания чрезвычайно большое значение имеет. Это один важный кубик.
А второй важный кубик – это то, что связано с неполной воспроизводимостью поведения, которое характерно и для биологических систем, и для социально-экономических. То есть мы все-таки привыкли в математическом описании иметь дело с так называемыми или с классическими тонкими кривыми, которые не имеют толщины. А в реальности при измерениях мы всегда имеем объект толстый.
Александр Костинский: Ну, хотя бы из-за ошибок измерения, да?
Алексей Васильев: Ну, во-первых, из-за ошибок измерения. Но просто тут важна как бы трактовка. Просто когда мы считаем, что мы можем отфильтровать как-то вот эту случайную составляющую или просто считать, что она случайна, и в пределе ошибки она может быть устранена полностью. Это совершенно другой подход.
Александр Костинский: А, вы говорите о принципиальных вещах, допустим, поведение людей.
Алексей Васильев: Да, совершенно верно.
Александр Костинский: И тут никакими не отфильтровать...
Алексей Васильев: Да, не отфильтровать. Но выводы-то делать можно и в этом случае. Но для этого нужно изменить сам по себе математический аппарат. То есть технология анализа вот таких толстых кривых, она принципиально отличается от тонких кривых. И этому нужно учить отдельно.
Александр Костинский: Да. И это особенно важно, если мы говорим о математическом образовании для тех специальностей, где преподают социологию, где преподают экономику, где преподают психологию.
Алексей Васильев: Совершенно верно.
Александр Костинский: А там учат: классический фактически подход, доказательный, упрощенный Фихтенгольц.
Алексей Васильев: Я-то к Фихтенгольцу как раз очень хорошо отношусь.
Александр Костинский: И я тоже.
Алексей Васильев: Я просто хочу сказать, что когда дело заканчивается вот такой обычной функцией, то ответ неполноценный. Потому что когда мы, скажем, решаем во многих задачах экономических, ищем некий максимум, то есть эффективность максимальную с точки зрения конечного результата, то мы получаем точку при формальном математическом подходе. А на самом деле у нас всегда там есть достаточно широкое плато, поляна. И вот само наличие поляны как таковой, оно чрезвычайно важно, просто потому, что вот игра на этой поляне, она дает некое дополнительное измерение и возможность многих социально-экономических взаимодействий.
Александр Костинский: И вот такой математике надо учить, да?
Алексей Васильев: Во-первых, такой математике нужно учить. А во-вторых, нужно понимать, что просто здесь появляется возможность просто диалога. Когда у нас есть два участника, и один выбирает на этой поляне точку, которая более удобна его партнеру, то это фактически ему такой привет и призыв к какому-то ответному ходу. Если же он делает противоположное действие, то есть он выбирает опять же для себя выгодный вариант, но который неудобен партнеру, то это, по сути дела, призыв к войне. И последствия будут совершено разные.
Александр Костинский: Да, тут вы правильно говорите, и это очень интересная вещь. Действительно, когда мы говорим о нахождении оптимума, который зависит от многих людей или от многих группировок, вот когда у вас есть одна точка, то все будут за нее спорить, а если у вас есть некая поляна, то не исключено, что все могут удовлетворить свои интересы в рамках вот этой поляны. То есть не сильно поступившись, ну, немного все-таки поступившись своими собственными ресурсами, возможностями. И все могут развиваться вместе. И это, в общем, нахождение оптимума, консенсуса.
Алексей Васильев: Я бы сказал по-другому. Каждый может найти экологическую нишу.
Александр Костинский: Да, на этой поляне. А в точке найти нишу очень трудно.
И нам дозвонился Михаил из Москвы. Здравствуйте, Михаил.
Слушатель: Добрый день. Простите, ради Бога, но мне кажется, что вы немножко увлеклись. Потому что все эти поляны и прочие толстые линии, собственно говоря, которые я преподаю у себя в институте, это вещи достаточно сложные. А мы говорим о школе.
Александр Костинский: Нет, мы не только о школе говорим. Мы говорим вообще о математическом образовании.
Слушатель: Ну, я думал, что больше о школе. Но я скажу все-таки о школе. Вот чего бы мне, как вузовскому преподавателю, хотелось бы, чтобы уже было бы хоть немножко. Во-первых, знакомство с матрицами. У кого-то это есть, а у большинства нет. И приходится начинать с нуля.
Александр Костинский: То есть чтобы в школе было знакомство с матрицами, да?
Слушатель: Да. Векторы есть, но чисто формально. И идея индуктивности, она мне самому чрезвычайно симпатична и близка. Но опять же, господа, а кто будет писать учебники? Эти наши «Марьиванны»? Не будут. Они будут только талдычить что-то такое страшно формализованное. Значит, дело, извините, опять же за нами, за учебниками. Спасибо.
Александр Костинский: Спасибо, Михаил.
Игорь Окштейн, пожалуйста, прокомментируйте.
Игорь Окштейн: Ну, что тут можно сказать... У меня нет особых возражений к тому, что сказано. Другое дело, что речь все-таки идет о некоторых общих подходах. Я понимаю, что реализовать методологию обращения, например, с толстыми кривыми, например, в 8-ом классе для школьников достаточно трудно. Но с другой стороны, нет никакой проблемы в том, чтобы показать школьникам, что отличающихся друг от друга вариантов поведения живой системы с учетом вот этой невоспроизводимости, например, если о биологии речь идет, на самом деле не так много. Если есть невоспроизводимость поведения какой-то системы, например, 10-процентной, то это значит, что реально вариантов, которые мы можем отличить друг от друга, сравнительно мало, что нет вот этого бесконечного множества решений какой-то задачи, которые все друг от друга отличаются...
Александр Костинский: А есть коридор, да?
Игорь Окштейн: Да, есть какое-то количество коридоров. И вот эта идея простая, и ее, в общем, и в 6-ом классе можно объяснять. Речь идет о подходе.
Алексей Васильев: А я бы даже сказал по-другому. Ведь можно задачи, в том числе и оптимизационные, решать методами высшей математики – дифференцировать и искать экстремумы. А можно искать элементарными методами – взять функцию и перебрать несколько вариантов. И такой вариант, он доступен даже школьнику в любой среде...
Александр Костинский: И график построить.
Алексей Васильев: Да, совершенно верно. Все не так сложно.
Александр Костинский: Я благодарю вас за участие в нашей передаче.